Módulo 2 — Equivalência entre indexadores

Objetivos

Expressar uma mesma operação em qualquer indexador e responder, por exemplo: "uma operação pré, emitida em tal data, com tal vencimento e tal taxa — equivale a quantos % do CDI?"

Teoria essencial

A ideia central. Pré, %CDI e CDI + spread vivem todos na base 252 e capitalizam diariamente. Logo, duas operações no mesmo intervalo (mesmo número de du) são equivalentes se, e somente se, têm o mesmo fator diário. Toda equivalência se reduz a igualar fatores diários.

Como cada indexador gera o fator diário, com $CD{I}_{dia}=(1+CDI{)}^{1/252}-1$:

$$\text{Preˊ:}{\text{fator}}_{dia}=(1+i_{pre}{)}^{1/252}$$

$$\text{\% do CDI:}{\text{fator}}_{dia}=1+CD{I}_{dia}\times p$$

$$\text{CDI+spread:}{\text{fator}}_{dia}=(1+CDI{)}^{1/252}\times (1+s{)}^{1/252}$$

Ponto conceitual indispensável. Pré é prefixado: você conhece o fator hoje. %CDI e CDI + spread são pós-fixados: o fator depende do CDI futuro, que não se conhece. Portanto, a equivalência entre uma ponta pré e uma ponta pós só existe sob um cenário de CDI. O rigor: use o CDI projetado pela curva de DI para o prazo exato da operação — não o CDI de hoje.

As fórmulas de conversão

Todas decorrem de igualar fatores diários:

$$\text{Preˊ}\to \text{\%CDI:}p=\frac{(1+i_{pre}{)}^{1/252}-1}{(1+CDI{)}^{1/252}-1}$$

$$\text{Preˊ}\to \text{CDI+spread:}s=\frac{1+i_{pre}}{1+CDI}-1$$

$$\text{\%CDI}\to \text{Preˊ:}{i}_{pre}=(1+CD{I}_{dia}\times p{)}^{252}-1$$

$$\text{CDI+spread}\to \text{Preˊ:}{i}_{pre}=(1+CDI)(1+s)-1$$

$$\text{IPCA+cupom}\to \text{Preˊ nominal:}{i}_{nom}=(1+IPCA)(1+\text{cupom})-1$$

Se $i_{pre}<CDI$, o spread é negativo (rende "CDI menos algo") e o %CDI fica abaixo de 100%. Se $i_{pre}>CDI$, spread positivo e %CDI acima de 100%.

Inflação implícita (break-even)

O IPCA que torna uma operação IPCA + cupom equivalente a uma pré de mesmo prazo:

$$IPC{A}_{be}=\frac{1+i_{pre}}{1+{\text{cupom}}_{real}}-1$$

Leitura de mesa: se você acha que a inflação ficará acima do break-even, o título IPCA+ tende a render mais que a LTN; se abaixo, a LTN ganha.

Expressar em base 360. Para colocar qualquer operação numa taxa base 360 linear, calcule o fator total e use o intervalo concreto de dc: $i_{360}=({\text{fator}}_{total}-1)\times \frac{360}{dc}$.